BEDAVASI EN BOL SİTE :))

PERMÜTASYON

SAYMANIN TEMEL KURALLARI

Toplama Kuralı: Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

s(A)= m , s(B)= n ve A ile B’nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı

s(A) + s(B)= m+ n’ dir.

O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( ya bir bay veya bir bayan seçilecek )

Çözüm : 5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.

Çarpma Kuralı : n bir sayma sayısı olmak üzere a₁, a₂, a₃, ....., a_n ile gösterilen n tane nesne için ( a₁, a₂)’ ye sıralı ikili, ( a₁, a₂, a₃)’e sıralı üçlü ... ( a₁ , a₂, a₃, ... , a_n)’e sıralı n’li denir. Sıralı ikililerin kümesini A₂, Sıralı üçlülerin kümesini A₃, Sıralı dörtlülerin kümesini A₄ .... şeklinde gösterelim.

A₁, A₂, A₃, ... , A_r kümelerinin elemanlarının sayısı n₁, n₂, n₃, ... , n_r olsun. Bu durumda s ( A₁.A₂.A₃... A_r)= s(A₁ ). s(A₂). s(A₃)... s(A_r) = n₁.n₂.n₃... n_r olur.

Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklıyalım : iki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.

Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( hem bir bay hem de bir bayan seçilecek )

Çözüm : 5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.

FAKTÖRİYEL

Tanım: 1’den n’e kadar olan tamsayıların çarpımına “n faktöriyle” denir ve n! Şeklinde gösterilir.

1.2.3.....n = n!

0!=1

1!=1

2!=1.2 = 2

3!=1.2.3.= 6

4!=1.2.3.4 = 24

Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!

Yani 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!

9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.5.5! gibi.

Örnek: 15! / 13! =?

Çözüm : 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. 15! = 15.14. 13! olur.

15! / 13! = 15.14. 13! / 13! = 15.14 bulunur.

Örnek: n! / (n - 2 )! =?

Çözüm : n ve n - 2 arasında n sayısı n-2 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. n! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! olur.

n! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ) bulunur.

Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şekilde dizeriz.

Örnek: 6 tane ampul 6 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?

Çözüm : Açıklayıcı olması için ampüllere A , B , C ve D , yerlere 1 , 2 , 3 ve 4 diyelim. A ' dan başlayarak ampülleri takalım. A ampülü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampülünün takılması için 4 yol var. A ampülünü taktıktan sonra 3 ampül ve üç yer kalır. B ampülü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampülünün takılması için 3 yol var. A ve B ampülünü taktıktan sonra 2 ampül ve 2 yer kalır. C ampülü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampülünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampülünü taktıktan sonra 1 ampül ve 1 yer kalır. D ampülü 1 yere takılabilir. Yani D ampülünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampül yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir.

Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 değişik takma şekli vardır.

Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız.

1. (n-2)! (n+1)! / n!. (n - 1)!

2. n! . (n-1)! / (n - 2 )! .(n+ 1)!

3. (n+ 2)! (n+1)! (n-2)! / n! (n-3)! (n+2)!

Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.

Kaç farklı şekilde dizilebilir?
Aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
Fizik kitapları yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
Belli iki kitap yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
Kenarlara fizik kitabı gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm :

a. Rafa kitapları soldan sağa doğru dizdiğimizi düşünelim 1. sıraya dizilecek kitap 8 farklı kitap koyabiliriz yani 8 yolla, 1.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 2.sıraya dizilecek kitap diğer 7 kitap arasından biri olacağı için 7 yolla, 1.sıraya 1 kitap ve 2.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 3. sıraya dizilecek kitap diğer 6 kitap arasından biri olacağı için 6 yolla,... bu şekilde her seferinde 1 kitap azalır. 8.sıraya dizilecek kitap 1 tane kaldığından 1 yolla belirlenir.Buna göre, bu 8 kitabın bir rafa yanyana dizilişi 8.7.6. 5. 4. 3. 2. .1= 8! yolla belirlenebilir.

Matematik kitapları 1 kitap, Fizik kitapları da 1 kitap gibi düşünülürse, bunların yanyana dizilişi 2! yolla olur. (matematik kitapları sağda fizik kitapları solda veya matematik kitapları solda fizik kitapları sağda ). 5 Matematik kitabının kendi arasındaki dizilişi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki dizilişi 3! yolla olur.Buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yanyana gelmek şartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir.

Fizik kitapları yanyana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düşünelim. Bu durumda 6 kitap varmış gibi düşünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı dizilişi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki dizilişi 3! yolla , 5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yanyana gelmek şartıyla 6!.3! yolla dizilebilir.

8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B’yi bir kitap gibi düşünelim. Bu durumda 7 kitap olduğu düşünülebilir. Bunların yanyana dizilişi 7! yolla yapılabilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki dizilişi 2! olduğu için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek şartıyla 7!.2! yolla dizilebilir.
1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3., ....., 7. sıralara diğer 6 kitap dizilirse uygun diziliş gerçekleşir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belirlendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı diğer iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Diğer 6 kitabın dizilişi 6! Yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek şartıyla, 3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir.

PERMÜTASYON :

Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r’ lilerine A kümesinin r’ li permütasyonları denir.

n elemanlı A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı P (n,r) = n! / (n-r)! formülü ile bulunur.

Örnek: Farklı renkte 7 mendilin 3’ ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir?

Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir. n = 7 , üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;

P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farklı şekilde dağıtılabilir.

Uyarı :

i. i. n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı,

Yani P(n,n) = n.(n-1)......1 = n!’ dir.

ii. n elemanlı bir kümenin 1’ li permütasyonlarının sayısı, P (n,1) = n’dir.

iii. Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanın kuralıyla da çözülebileceğine ; ancak, çarpma kuralıyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyeceğine dikkat ediniz.

Örnek: 5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır.

Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm :

8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır.
Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde sıralanabilir.
Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3’ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için bayanların 3’ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.

Dönel (dairesel) sıralama :

Tanım : n tane farklı elemanındaire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur.

Örnek: 7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır.

Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?
Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?

Çözüm :

7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir.
Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir.
Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması sözkonusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla, 5!. 2! farklı şekilde oturabilir.

Tekrarlı permütasyonlar :

Tanım : n tane nesnenin n₁ tanesi 1. çeşitten, n₂ tanesi 2. çeşitten, ......., n_r tanesi de r. çeşitten olsun.

n= n₁+ n₂+ ........... + n_r olmak üzere bu n tane nesnenin n’li permütasyonlarının sayısı,

(n₁,n₂,^..., n_r ) = n! / n₁!.n₂!...n_r ‘ dir.

Örnek: “ BABACAN” sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

Çözüm : 2 tane B harfi olduğu için n₁ = 2

3 tane A harfi olduğu için n₂ = 3,

1 tane C harfi olduğu için n₃= 1 ve bir tane N harfi olduğu için

n₄ = 1 olsun. Buna göre farklı sözcüklerin sayısı,

(2,3,1,1) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 ‘ dir.

Sorular Ve Cevaplar

1.) (n-2)!.(n+3)! / (n+1)!.(n-1)!=n+7 ise n kaçtır?

ÇÖZÜM:

(n-2)!.(n+3).(n+2).(n+1))! / (n+1)!.(n-1).(n-2)!=n+7

2 2

n +5n+6=n +6n-7

n=13

2) C(n+1,2) + C(n,1)= P(n,2) + P(2,2) ise n kaçtır?

ÇÖZÜM:

[(n+1)!/2!.(n-1)!]+n=[n!/(n-2)!]+2!

[(n+1).n.(n-1)!/2(n-1)!]+n=[n.(n-1).(n-2)!/(n-2)!]+2

2 2

n +3n=2n -2n+4

n -5n+4=0

(n-4).(n-1)=0

n=4

3)[1,2,3,4,5] kümesinin elamanları ile 3 basamaklı rakamları tekrarsız 340’tan büyük kaç sayı yazılabilir?

ÇÖZÜM:

400-...

1.2.3=6 2.4.3=24

3 4 4

5 5

6+24=30

4)[1,2,3,4] kümesinin elemanları ile yazılabilen rakamları tekrarsız tüm üç basamaklı sayıların kaç tanesi 200’den büyük ve tektir?

ÇÖZÜM:

[1,2,3,4]

3.2.1=6 2.2.1=4

2 1 2 3

3 4

6+4=10

5)Bir sinemada 7 tane boş boş koltuk vardır.Bu koltuklara 5 seyirci kaç değişik şekilde orurabilir?

ÇÖZÜM:

P(7,5)= 7!/(7-5)!=7.6.5.4.3=2520

6)Bir kişinin dört çift ayakkabısı vardır.Aynı ayakkabıyı üst üste iki gün giymemektedir.4 iş gününde bu kişiayakkabılarını kaç değişik şekilde giyebilir?

ÇÖZÜM:

1.2.3.4. gün

4.3.3.3=108

7)Ayşe ile Mehmet’in de aralarında bulunduğu 6 kişi bir sırada oturacaktırlar.Ayşe ile Mehmet yan yana olmamak üzere kaç farklı şekilde oturabilirler?

ÇÖZÜM:

6!=Tüm oturum sayısı

5!.2=Ayşe ile Mehmet yan yana

6!-5!.2=720-240=480

8)KELEBEK sözcüğünün harfleri kullanılarak 7 harfli anlamlı yada anlamsız kaç farklı sözcük yazılabilir?

ÇÖZÜM:

KELEBEK

P(7,4.P(7,5)=7!/3!.2!= 420

9)5 kişilik bir grup yuvarlak bir masa etrafında belirli ikisi yan yana gelmemek üzere kaç farklı şekilde oturabilirler?

ÇÖZÜM:

4!-3!.2=24-12=12

10)Bir düzlemde 6 sı birbirine ve 4 ü birbirine paralel 10 doğru ile kaç paralelkenar oluşturulur?

a)30 b)45 c)90 d)120 e)150

ÇÖZÜM:

C(6,2).C(4,2)=[6!/4!.2!].[4!/2!.2!]=15.6=30

11)Bir grupta erkeklerin sayısı kızların sayısının 5 katıdır.kızların oluşturabileceği 2 şerli grup sayısı erkeklerin sayısına eşit ise grupta kaç kız vardır?

ÇÖZÜM:

E=5n,K=n

C(n,2)=5n n!/2!.(n-2)!=5n

n.(n-1).(n-2)!/2(n-2)!=5n

n.(n-1)=10n

n-1=10

n=11

12)x=7! ise

6!+8! in x cinsinden değeri nedir?

ÇÖZÜM:

x=7!

x=7.6!

6!=x/7 6!+8!=6!(1+7.8)

=6!.57

6!+8!=57x/7

13)Bir düzlemde bulunan birbirinden farklı 6 üçgen ikişer ikişer en çok kaç kesim noktası oluşturur?

ÇÖZÜM:

C(6,2).6=15.6=90 tane nokta...

14)A ve B herhangi iki olaydır.

P(AUB)=13/20P(A’)=1/2

P(AnB)=2/5 olduğuna göre P(B) kaçtır?

ÇÖZÜM:

P(A)+P(A’)=1 ise P(A)=1/2

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)

P(B)=13/20+2/5-1/2

P(B) =11/20

15)Bir torbada 3 siyah,4 beyaz,5 kırmızı top vardır.Torbadan rastgele alınan bir topun kırmızı ve ya beyaz olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

Topun kırmızı olma olasılığı:5/12

Topun beyaz olma olasılığı:4/12

=5/12+4/12=9/12=3/4

16)Hileli bir paranın tura gelme olasılığı,yazı gelme olasılığının 2/5 i dir.bu para bir ke atıldığında tura gelme olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

Yazı=x ise tura =2x/5

Y+T=1 x+2x/5=1 x=5/7

Tura gelme olasılığı=2x/5 P(T)=2/7

17)10 kız 8 erkekten kızların 6 sı ve erkeklerin 3 ü gözlüklüdür.Rastgele seçilen bir kişinin gözlüklü veya erkek olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

Gözlüklü sayısı=9

Erkek sayısı=8

Gözlüklü erkek=3 ise

9/18+8/18-3/18=7/9

18)Bir zar artarda 2 kez atılıyor.iki atışta da 3 ten küçük sayı gelme olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

A=(1,2)

E=(1,2,3,4,5,6)

P(A)=2/6.2/6=1/9

19)Kız ve erkeklerden oluşan bir toplulukta erkeklerin sayısı kızların sayısının 2 katına eşittir.topluluktan rastgele seçilen 2 kişiden 2 sininde kız olma olasılığı 2/21 ise toplulukta kaç kişi vardır?

a)10 b)15 c)20 d)25 e)35

ÇÖZÜM:

Kız sayısı=x

Erkek sayısı=2x

x/3x.[x-1/3x-1]=2/21 x=5

ise 3.x=3.5=15

20)Bir zar artarda 3 kez atılıyor.Bu atışların ikisinde 2 birinde 5 gelme olasılığı kaçtır?

A1/72 b)5/72 c)7/72 d)11/72 e)13/72

ÇÖZÜM:

P(A)=1/6.1/6.1/6.3!/2!=1/72

21) A= {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak, rakamları tekrarsız 300 den küçük kaç farklı sayı yazılabilir?

Ç: 300 den küçük sayılar 3, 2 veya 1 basamaklı, olabilir. Buna göre A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinde 300 den küçük 3 basamaklı tekrarsız sayılar

2 . 4 . 3 = 24 tane, 2 basamaklı sayılar 5 . 4 = 20 tane, 1 basamaklı sayılar 5 tane olduğundan toplam 24 + 20 + 5 = 49 tane sayı yazılabilir.

Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız.

22) (n-2)! (n+1)! / n!. (n - 1)!

= (n-2)! (n+1). n! / n!. (n - 1). (n-2)!

= (n+1) / (n-1)

23) n! . (n-1)! / (n - 2 )! .(n+ 1)!

= n. (n-1). (n-2)!. (n-1). (n-2)! / (n-2)!. (n+1). n. (n-1). (n-2)!

= (n-1) / (n+1)

24) (n+1)! – n! / (n-1)! = 36 ise P(n, 2) kaçtır?

Ç: (n-1)!. n. (n+1) – (n-1)!. n / (n-1)! = 36

n(n+1) – n = 36

n² = 36  n = 6 dır. Buna göre

P(n, 2) = P(6, 2) = 6! / 2! = 30 olur.

25) Farklı a, b, c, d, e, f kitapları, bir kitaplığa yan yana dizilmişlerdir. Bu dizilişlerin kaçında a ile b yan yana gelir?

Ç: a ve b yan yana dizilecekse, bu iki kitabı bir kitap gibi düşünürsek 5!=120 değişik biçimde sıralanır. a ve b aralarında 2!=2 farklı şekilde sıralanabileceğine göre, tüm sıralamaların sayısı

5!.2!= 240 olur.

26) 2 kız 4 erkek oluşan bir grup. Bir sırada birlikte sıralanıyorlar.

a) Kaç değişik sıralama olur?

b) Kız öğrenciler biri bir uçta diğeri bir uçta olmak üzere kaç değişik sıralama olur?

c) Kız öğrenciler bir arada, erkek öğrenciler bir arada olmak üzere kaç değişik sıralama olur?

Ç: a) 6 kişinin bir sırada farklı sıralanmasının sayısı 6! = 720 dir.

b) İki kız öğrenci arasında kalan 4 erkeğin değişik sıralanmalarının sayısı

P(4,4)= 4! = 24 tür. 2 kız öğrencinin yer değiştirme sayısı P(2,2)=2 olacağından toplam sıralanma sayısı 2 . 24 = 48 olur

c) KK EEEE biçimindeki bir sıralamada kızların aralarında yer değişimi

P(2,2)=2!, erkeklerin aralarında yer değişimi P(4,4)=4! ve iki grubun kendi aralarında yer değiştirme sayısı P(2,2)=2! olduğundan istenilen sıralanma sayısı; 2!. 4! . 2! = 96 olur.

27) 5 kişi bir taksiye ikisi önde ucu arkada oturmak koşulu ile kaç farklı biçimde binebilirler?

Ç: 5 kişiden 2 tanesinin taksinin ön kısmına oturma biçimi P(5,2)= 20 dir. Geri kalan 3 kişinin arka kısma oturma biçimi P(3,3)= 6 dır.

Saymanın temel ilkesine göre 5 kısının taksiye binme sayısı 20. 6 = 120 dır.

28) A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı sayılar yazılacaktır.

1. Rakamları tekrarlanabilen, 2. Rakamları tekrarsız, 3. Rakamları tekrarsız ve 10’a bölünebilen, 4. Rakamları tekrarlanabilen çift, 5. Rakamları tekrarsız çift,

kaç tane sayı yazılabilir?

Ç: 1. Yüzler basamağı sıfır olamaz, bu yüzden yüzler basamağı 4 farklı yolla seçilebilir. Rakamları tekrarlanabileceği için onlar basamağı 5 farklı yolla seçilir. Benzer şekilde birler basamağı da 5 yolla seçilir. Buna göre A kümesin elemanlarıyla rakamları tekrarlanabilen, 3 basamaklı, 4. 5. 5 = 100 tane sayı yazılabilir.

2. Yüzler basamağı sıfır olamaz, bu yüzden yüzler basamağı 4 farklı yolla seçilebilir. Rakamları tekrarsız olduğundan onlar basamağı kalan 4 eleman içinden 4 farklı yolla seçilir. Kalan 3 rakam arasından birler basamağı 3 yolla seçilir. Buna göre 4. 4. 3 = 48 farklı sayı yazılabilir.

3. 10’a bölünen sayının son rakamı 0 olacağından bir yolla seçilir. Rakamlar tekrarsız olduğundan onlar basamağı kalan 4 rakam arasından 4 yolla seçilir. Benzer şekilde yüzler basamağı 3 yolla seçilir. 3. 4. 1 = 12 tane sayı yazılır.

4. Sayının çift olması için birler basamağı 0, 2, 4 olacaktır. Yani 3 farklı seçim vardır. Rakamları tekrarlanabileceği için onlar basamağı 5 yolla, yüzler basamağı 4 yolla (yüzler basamağı 0 olamaz) seçilir. 4. 5. 3 = 60 sayı yazılır.

5. Son rakamı 0 olanla, son rakamı 2 veya 4 olanı ayrı ayrı inceleyelim. Rakamları tekrarsız ve son rakamı sıfır olmak üzere birler basamağı 1, kalan rakamlar arasından onlar bas. 4, yüzler bas. 3 yolla seçilir. 3. 4. 1 = 12 Son rakamı 2,4 olmak üzere birler bas 2, yüzler bas sıfır olmayacağı için 3, kalan rakamlar arasından onlar bas 3 farklı yolla seçilir. 3. 3. 2 = 18 Buna göre rakamları tekrarsız ve çift sayı 12+18=30 yolla yazılabilir.

29) 3 mektup 6 posta kutusuna postalanacaktır. Bir kutuya en çok bir mektup gitmek şartıyla, bu 3 mektup kaç değişik yolla postalanabilir.

Ç: 6 tane kutu olduğu için birinci mektup 6 yolla atılır. İkinci mektup diğer 5 kutudan birine 5 yolla atılır. En sonda üçüncü mektup kalan 4 kutuya 4 farklı yolla atılır. Buna göre mektupları postalama işi 6. 5. 4 = 120 yolla yapılabilir.

30)210102 sayısının rakamları yerleri değiştirilerek elde edilebilecek 6 basamaklı sayıların kaç tanesinin birler basamağındaki rakam 1 dir?

Ç: Yazılacak sayının soldan iki rakamı sıfır olamaz. Bunun için soldan ilk rakam diğer rakamlar arasından seçilir. 3 4 3 2 1 2  144 eder. 0, 1, 2 rakamları ikişer kez tekrarlandığından 144 ÷ 8 = 18 eder.

31)VELVELE kelimesinin harfleriyle yazılabilecek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerin kaçında V harflerini E harfleri takip eder?

Ç: V ve E harflerini bir arada kabul edersek, VE ve L ikişer kez tekrarlanacağından, 5! / 2!. 2! = 30 olur.

32)İdareciler yan yana olmak şartıyla 2 idareci, 5 öğretmen fotoğraf çektireceklerdir. 3 kişi önde, 4 kişi arkada olmak üzere kaç farklı şekilde poz verebilirler?

Ç: İdareciler yan yana olacaktır. İdarecilerin ön sırada olduğunu düşünürsek yanlarına sadece 1 öğretmen gelir. İdareciler aralarında, öğretmeler ve 2 idareci aralarında ikiler farklı şekilde dururlar. Arka sıra için 5 öğretmenden herhangi dördü seçilecektir. P(5,4). 2!. 2! = 480 İdarecilerin arka sırada olduğunu düşünürsek, 2 idareci ve 2 öğretmen ikişer farklı şekilde poz verirler. Ön sırada olan 3 öğretmen de kendi aralarında 3! değişik şekilde oturacağından P(5,3). 3!. 2! = 720 farklı poz olur. Toplamda 2 idareci ve 5 öğretmen, idareciler yan yana olmak üzere 720 + 480 = 1200 farklı şekilde poz verirler.

33)3 İtalyan, 2 Fransız, 2 İspanyol delege, yuvarlak bir masa etrafında aynı uyruklar yan yana gelmek koşulu ile kaç değişik biçimde otururlar?

Ç: 3 uyruk (3-1)! Farklı şekilde oturur. İtalyanlar kendi aralarında 3!, Fransız ve İspanyollar kendi aralarında 2! Farklı şekilde oturursa, yuvarlak bir masa etrafında 2!. 3!. 2!. 2! = 48 farklı biçimde otururlar.

34)4 tane pantolon, 5 tane gömlek,3 tane kravat , 2 tane Ayakkabası olan bir kişi her birinden 1 tane giyme şartıyla kaç şekilde giyinebilir?

Ç: 2.3.4.5=120 farklı şekilde giyinebilir

35) 6 kişilikyönetim kurulu üyeleri arasında bir baskan,bir başkan kaç şekilde seçilebilir?

Ç: 6.5=30

37) 4 pantolon ,5 gömlek ,3kravat , 2 ayakkabı aralarından 3 tane eşya nasıl seçilir?

Ç: 14.13.12=2184

38)A=(1,2,3,4,5) ise 3 basamaklı kaç sayı gelir ?

Ç: 5 5 5 = 125

39A=(1,2,3,4,5) ise rakamları farklı kaç sayı gelebilir 3 basamaklı ?

Ç: 5 4 3= 60

40)=(1,2,3,4,5) ise 3 basamaklı kaç çift yazı yazılabilir?

Ç: 5 5 2 =50

A=(1,2,3,4,5) ise 3 basamaklı 200 den büyük kaç basamak yazılır?

Ç: 4 5 5 =24

A=(1,2,3,4,5) ise 3 basamaklı 300 den büyük rakamları farklı kaç sayı yazılır?

Ç: 3 4 3 = 36

A=(1,2,3,4,5) ise 3 basamaklı 230 dan büyük kaç sayı yazılır?

Ç: 3 5 5 = 75

1 3 5 = 15

+_________

41) A(1,2,3,4,5) ise 3 basamaklı 400 den büyük rakamları farklı kaç sayı yazılır?

Ç: 2 4 3= 24

42) A=(1,2,3,4,5) ise 3 basamaklı 500 den büyük çift rakamları kaç farklı sayı yazılabilir?

Ç. 1 3 2 = 6

43)A=(1,2,3,4,5) ise 3 basamaklı 400 den büyük çift kaç tane sayı vardır?

Ç. 2 5 1 = 20

44)A=(1,2,3,4,5) ise 3 basamaklı 400’den büyük çift ve rakamları farklı kaç sayı vardır?

Ç. 1 3 2 = 6

1 3 1 = 3

+__________

45)A=(0,1,2,3,4,5,6) ise 3 basamaklı kaç sayı yapılır?

Ç. 6 7 7 = 294

46)A=(0,1,2,3,4,5,6) ise 3 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yapılabilir?

Ç. 6 6 5 = 180

47)A=(0,1,2,3,4,5,6) ise 3 basamaklı rakamları farklı tek kaç sayı yazılabilir?

Ç. 5 5 3 = 75

48)A=(0,1,2,3,4,5,6) ise 3 basamaklı 400’den küçük kaç sayı vardır?

Ç. 3 7 7 = 149

49) 3 mektup 7 posta kutusuna atılacaktır. Bu kaç şekilde gerçekleşebilir?

Ç. 7.7.7 = 343

50)3 tane zarf her biri farklı posta kutusuna nasıl atarız?

Ç. 7.6.5= 185

51) 4 matematik 3 fizik kitapları kaç şekilde dizilebilir?

Ç. 4 + 3 = 7

52)Matematik itapları ve 3 Fizik kitapları yan yana olmak şekiliyle kaç şekilde dizilebilir?

Ç. MMMM.FFF = > 4.3.2.1 . 3.2.1 => 144

FFF.MMMM => 3.2.1 . 4.3.2.1 => 144

+____

288

53)4 Matematik ve 3 Fizik kitapları bir arada olmak üzer kaç şekilde yazılır?

MMMM FFF => 4.3.2.1 . 4.3.2.1 = 576

54)3 Fizik ve 4 Matematik Kitaplarından Fizik itapları Bir arada Olmak üzere kaç şekilde dizelebilir?

Ç. 5! . 3! = 720

55)3 Fizik ve 4 Matematik Kitaplarından belli 2 Matematik kitabı yan yana olmak üzere kaç şekilde yazılır?

Ç. 2! . 6! = 1440

56)3 Fizik ve 4 Matematik Kitaplarından 3 Matematik ve 2 Fizik bir arada kaç farklı şekilde yazılabilir?

Ç. 3! . 2! . 4! = 288

57)20 soruluk bir teste her sorunun 5 seçeneği vardır. Bu testten cevap kaç değişik şekilde hazırlanabilir?

Ç. 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5= 96367431640625

58)3 Kimya, 5 Matematik, 6 Fizik Kitaplarından kaç farklı şekilde dizelebilir?

Ç. 5! + 3! + 6! = 14!

59)3 Kimya, 5 Matematik, 6 Fizik Kitaplarından Matematik ve Kimya kitapları bir arada olmak üzere kaç şekilde yazılabilir?

Ç. 8! .7! = 56!

60)3Kimya, 5 Matematik, 6 Fizik Kitaplarından matematik ve kimya kitapları yan yana olmak üzere kaç farklı şekilde dizebilir?

Ç. 3! . 3! . 2! . 7! = 126!

61)3 Kimya, 5 Matematik, 6 Fizik Kitaplarından matematik, fizik ve kimya kitabı olmak üzere kaç şekilde düzenlenebilir?

Ç. 5! . 3! . 6! . 3! = 270!

62)A=(a,b,c,d,e,f,g) ise 4 harfli kaç farklı kelime yazılabilir ?

Ç. 7.7.7.7 = 2401

63)A=(a,b,c,d,e,f,g) ise 4 harfli harfleri farklı kaç tane kelime yazılabilir?

Ç. 7.6.5.4 = 840

64) A)=(a,b,c,d,e,f,g) ise 4 harfli sesli ile başlayan sessiz ile biten kaç kelime yazarız?

Ç. 2 7 7 5 = 290

65)A=(a,b,c,d,e,f,g) ise 4 harfli sesli ile başlayan sessizle biten 4 harfli kaç farklı sayı yazılabilir?

Ç. 2 5 4 5 = 200

66)A=(a,b,c,d,e,f,g) ise 4 harfli sesli harfle bitmeyen kaç tane harf yazılabilir?

Ç. 7 7 7 5 = 1715

67)A=(a,b,c,d,e,f,g) ise 4 harfli a ile e’le bitmeyen kaç sayı vardır ?

Ç. 7 7 1 1 - 7 7 7 7 = 2352

68)4 Matematik ve 3 fizik kitaplarından belli 2 matematik kitabı yan yana gelmemek üzer kaç şekilde dizelebilir?

Ç. 7! – 6! = 5040 – 1440 = 3600

69)3 farklı kalem 6 kişiden herhangi 3’ne verilecektir. Bu kalemler kaç değişik biçimde dağıtılabilir?

Ç. 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

70)Bir binada kapasitesi 5 kişiden çok olan 3 asansör vardır.5 kişi bu asansöre kaç değişik şekilde binebilir?

Ç. 3.3.3.3.3 = 243

71)6 farklı mektup 2 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?

Ç. 2.2.2.2.2.2 = 64

72) ^{A dan B ye 3}

^{değişik yol B den}

^{C ye iki değişik}

^{yol vardır.}

^{A dan (B den geçme koşulu ile) C ye kaç değişik yolla gidilebilir?}

^Ç.^{Yollar (1, a) (1, b) (2, a) (2, b) (3, a) (3, b) olmak üzere 6 yol bulunur.}

^{Çarpma yöntemi ile daha çabuk 3 . 2=6 olarak bulunur.}

⁷³⁾^{KONYA kelimesindeki harflerle beş harfli anlamlı yada anlamsız kaç sözcük yazılabilir?}

^{Ç. Beş Harfi Yandaki ;}

^{Yazıla-bilecek sözcük sayısı, çarpma yöntemi gereğince 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 olarak bulunur.}

^{74)İki torbanın birinde siyah ve diğerinde beyaz ve üzerlerinde 1,2,3,4,5 numaraları yazılı 5 er bilye vardır.Bu torbaların her birinden birer bilye çekilerek ikililer elde ediliyor. Bu ikililerin sayısı kaçtır ?}

^Ç.^{Çarpma yöntemi ile 5.5 = 25 ikili bulunur.}

^{75)Bir otomobilde 5 kişilik yer vardır. (sürücü yeri dahil) 2 sinin sürücü belgesi bulunan beş kişi bu otomobilde kaç değişik biçimde seyahat edebilir ?}

^{Ç. sürücü yerine 2 değişik kişi oturabilir. Diğer yerlere sıra ile 4, 3, 2, 1 değişik kişi oturabilir. O halde çarpma kuralı gereği 2.4! = 48 değişik biçimde oturabilirler.}

^{76)MARMARA kelimesindeki harflerle 7 harfli anlamlı yada anlamsız kaç sözcük yazılabilir ?}

^{Ç. MARMARA kelimesindeki harflerden 2 tanesi M, üç tanesi A ve iki tanesi de R dir.}

O halde,== 5.6.7 = 210 ^{sözcük yazılabilir.}

^{77)4 tane 2 rakamı, 2 tane 5 rakamı ve diğerleri 4, 6 rakamları olan 8 rakamları olan 8 rakamla kaç değişik sekiz basamaklı sayı yazılabilir ?}

^Ç.= 840 tane sekiz basamaklı ^{değişik sayı yazılabilir.}

^{78)5 arkadaştan ikisi kızdır. Bunlar 5 kişilik bir bankta oturmak istiyorlar.}

^{İki kız daima yan yana oturmak koşulu ile bu banka kaç değişik biçimde oturabilirler ?}

^{Ç. Kız öğrenciler A ve B ise (A, B) yi, bir kişi gibi düşünürsek 4 kişi gibi olur ve 4! Kadar otururlar. Ancak (A, B) de (A, B) ve (B, A) gibi iki değişik hal vardır. Çarpma kuralı gereğince; 2! . 4! = 2.24 = 48 değişik biçimde otururlar.}

^{79) 5 arkadaştan ikisi küstür. 5 kişilik bir bankta oturmak istiyorlar.}

^{İki küs arkadaş yan yana gelmemek koşulu ile kaç değişik biçimde otururlar ?}

^{Ç. 2! . 4! = 48}

^{80)6 arkadaş sinemaya gitti. Boş olan 4 tane numaralı sandalye ye kaç değişik biçimde oturabilirler ?}

^{Ç. Yerler değişik numarada olduğu için permütasyondur.(sıra önemli) O halde}

P(6,4) = = 360 bulunur.

81) ^{İki torbanın her birinde, üzerlerinde 1 den 12 ye kadar numara bulunan bilyeleri vardır. Her birinden 1 bilye alınarak ikili gruplar elde ediliyor. Kaç değişik ikili elde edebilirsiniz. ?}

^{Ç. Her birinde değişik 12 şer bilye olduğu için bunların çarpımı kadar değişik ikili elde edilir. 12.12 = 144}

^{82)6 kişiden ikisi önde 4 ü arkada olmak üzere sıralanarak fotoğraf çektirilecektir. Kaç poz resim çekilebilir.?}

^Ç.Önde P(6, 2) = ;arkadakiler = P(4, 4) = 4! dir. O halde P(6,2).P(4,4) = . 4! = 6! = 720

83)^{A = 1, 2, 3, 4, 5 kümesinin elemanları ile üç basamaklı, rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir.}

Ç. ^{çarpma kuralı gereğince 5.4.3 = 60 sayı yazılabilir.}

^{84)MERSİN kelimesindeki 6 harfle anlamlı yada anlamsız kaç sözcük yazılabilir ?}

^{Ç. P(6, 6) = 6! Kadar sözcük yazılabilir.}

^{85)SİVAS kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız 6 harfli kaç sözcük yazılabilir?}

^{Ç. S harfi iki kez olduğu için bu ikisi aynıdır. O halde}

= 3.4.5.6 = 360 bulunur.

^{86)(3, 3, 3, 2, 2, 4, 4, 4) rakamları ile 8 basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir ?}

^{Ç. Üç tane 3, iki tane 2 ve üç tane 4 olduğu için}

= 560 değişik sayı yazılabilir.

^{87)Beş değişik oyuncak 3 çocuğa kaç değişik biçimde dağıtılabilir ?}

^{Ç. Oyuncalar değişik olduğu için bu bir sıralama problemi ve permütasyondur. 5 elemanın üçlü permütasyonudur. O halde}

P(5, 3) = == 60 değişik biçimde ^{dağıtılabilir.}

^{88)6 kitap, kitaplıkta bir rafa kaç değişik biçimde sıralanabilir ?}

^{Ç. Altının altılı permütasyonu kadar sıraya konulabilir. P(6, 6) = 6! = 720 değişik sırada yerleştirilebilir.}

^{89) 6 değişik anahtar halka şeklinde maskotlu bir anahtarlığa kaç değişik biçimde takılabilir ?}

^Ç.= 360 değişik biçimde takılabilir.

90)^{Bir çocuk değişik renkte ve büyüklükte 5 boncukla halka şeklinde bir kolye yapmak istiyor.(klips takmadan) Bu boncuklar kaç değişik biçimde yerleştirilebilir ?}

^Ç.= 12 değişik biçim olur.

91)^{3 erkek, 2 kız arkadaş yuvarlak bir masa etrafına iki kız daima yan yana oturmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir ?}

Ç. ^{A ve B kızlar ise (A, B) yi bir eleman olarak alırsak artık 4 kişi olur ve 3! kadar otururlar. Ancak iki kız}

^{(A, B) biçiminde olduğu gibi (B, A) biçiminde de alınabilir.Çarpma kuralı ile bulunur. 2! . 3! = 12 değişik biçimde oturabilirler.}

⁹²⁾^{1, 2, 3, 4, 5, 6 kümesinin elemanları ile yazılabilen 5 rakamlı sayılardan kaç tanesinde 2 rakamı vardır?}

^{Ç. 2 rakamı hepsinde bulunacağı için 2 yi ayrı tutarsak geriye kalan 5 elemanın 4 lü permütasyonları kadar}

^{(2 hariç) dört rakamlı sayı yazılabilir. 2 sayısı bu 4 rakamlı sayıda 5 değişik yerde olabileceği için çarpma}yöntemi gereği 5.P(5, 4) = 5^. = 600 sayı bulunur.

93)^{10 kişi üzeri numaralı 8 sandalyeye kaç değişik şekilde oturabilir?}

^Ç.P (10,8) = kadar değişik biçimde oturabilir.

^{94)Beş kişi yuvarlak bir masa etrafına kaç değişik biçimde oturabilir ?}

^{Ç. Dairesel permütasyon olduğu için (5-1)! = 4! = 24 değişik biçimde oturabilirler.}

^{95) 6 atın koştuğu bir yarış beraberlik olmamak koşuluyla kaç değişik şekilde konuşlanır?}

^{Ç. 6!= 6.5.4.3.2.1 = 720}

^{96)4 kişi yan yana kaç değişik biçimde sıralanabilir?}

^{Ç. 4! = 24}

^{97)Penreden girip kapıdan çıkma alışkanlığı olan bir hırsız 12 pencerisi 3 kapısı olan bir küçük köşkü soymak için kaç değişik şekilde plan yapabilir?}

^{Ç. 12 . 3 = 36}

^{98)5 kız 5 erkekten oluşan bir folklor grubu, 1 kız , 1 erkek yan yana olmak üzere kaç şekilde dizilebilir?}

^{Ç. 5! . 5! . 2! = 28800}

^{99)Bir hava alanındaki işaret memuru 7 farklı renkdeki bayrakların 3’nü bir bireye sırasıyla aşarak uçakları kaç değişik işaret gönderir?}

^{Ç. 7. 6. 5 = 210}

^{100 2 kamyon , 3 otobüs , 5 otomobil kamyonlar başta ve sonda olmak üzere yan yana park ediliyor.Diğerleri aynı türden olanlar yan yana olmak şartıyla kaç değişik şekilde sıralanabilir?}

^{Ç. 2! . 2! . 3! . 5! = 2820}

SEÇME SINAVLARINDA ÇIKMIŞ SORULAR

1) 1993 EML : 2! . 3! . 5! İşleminin sonucu kaçtır?

──

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70

5 . 4!

2 . 1 . 3 . 2 . 1 . ──── = 12 . 5 = 60 Cevap: C

x² + x

2) 1991 EML: 0! + 1! + 2! + 3! = x ise ───── aşağıdakilerden hangisidir?

A) 9 B) 10 C)11 D) 12

x = 0! + 1! + 2! + 3!

= 1 + 1 + 2 + 6

= 10

x² + x x ( x+1)

——— = ———— = x+1 = 10 + 1 = 11 Cevap: C

x x

3) 1992 FL: 7! + 8!

——— işleminin sonucu kaçtır?

6! + 7!

A) 56! B) 15! C) 63 D) 15

—— —— —— ——

42! 13! 8 14

7! + 8! 7! + 8 . 7! 7! . (1 + 7 . 6! . 9 63

——— = ————— = ————— = ————— = —— Cevap: C

6! + 7! 6! + 7 . 6! 6! . (1 + 7) 6! . 8 8

4) 1998 KUR: 13! 8! 6!

——— - ( ——— + —— ) işleminin sonucu kaçtır?

(13-3)! 3! 2! . 6! 2! . 4!

A) 286 B) 258 C) 243 D) 146

13! 8 . 7 . 6! 6 . 5 . 4!

———— - ( ————— + ———— )

10! . 3! 2 . 6! 2 . 4!

13 . 12 . 11 . 10!

= ———————— - (28 + 15)

10! . 3. 2 . 1

= 286 – 43 = 243 Cevap: C

5) 2000 DPY: P (5,4) – 4! 3! . 0!

————— . ——— işleminin sonucu kaçtır?

P (3,3) + 2! 4!

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12

—— - 4!

1! 3! . 1 5! – 4! 1

——————— . ———— = ————— . ——

3! 4 . 3! 3! + 2! 4

—— + 2!

5 . 4! – 4! 1 4! (5-1) 1 4! . 4 1 4 . 3 . 2! 1

= ————— . —— = —————— . —— = ——— . —— = ———— . ——

3 . 2! + 2! 4 2! (3+1) 4 2! . 4 4 2! 4

= 3 Cevap: A

6) 1991 FL: Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9 farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla, Ankara’dan Adana’ya kaç farklı şekilde gidebilir?

9 yol

A) 9! B) 8! C) 72 D) 17

Ankara Konya Adana

8 . 9 = 72 Cevap: C

7) 1987 FL-1: A= {2,3,4,5,6} kümesinin elemanları birer defa kullanılarak oluşturulan 5 basamaklı sayılardan kaç tanesi 2 ile tam bölünebilir?

A) 48 B) 60 C) 72 d) 96

( 2,4,6 dan biri atanabilir, ancak bu şekilde bu sayı 2 ile tam bölünebilir)

2 ile tam bölünebilmesi için birler basamağına 2,4,6’dan biri gelebilir. Geriye kalan 4 rakamdan biri onbinler basamağına, geri kalan 3 rakamdan biri binler basamağına, kalan 2 rakamdan biri yüzler basamağına ve kalan 1 rakam da onlar basamağına yazılır. 5 basamaklı 2 ile tam bölünebilen toplam;

4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 72 sayı vardır. Cevap: C

8) 1983 FL-2: Her basamağında {2,3,4,5,6,7} kümesinin farklı elemanları bulunan üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?

A) 60 B) 120 C) 360 D) 720

(3,5,7’den biri gelebilir)

5 . 4 . 3 = 60 sayı yazılır.

Cevap: A

9) 1988 EML: (n+2)!

———— = 12 eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?

(n+1)!

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10

(n+2) . (n+1)!

—————— = 12 n + 2 = 12

(n+1)!

n = 10 Cevap: D

10) 1997 FL-AÖL: P (n,4) = 5 P (n,3) ise n’nin değeri nedir?

A) 3 B) 4 C) 8 D) 10

n! n!

= ——— = 5 ————

(n-4)! (n-3)!

n . (n-1) . (n-2) . (n-3) . (n-4)! 5 . n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!

= ————————————— = ———————————

(n-4)! (n-3)!

n-3 = 5 n=8 Cevap: C

11) 1982 EML: 7 öğrenci bir sıraya kaç değişik biçimde oturabilir?

A) 5040 B) 2500 C) 1400 D) 720

7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 Cevap: A

12) 1985 EML: “ÖZLEM” kelimesindeki harflerle manalı ya da manasız sonu M ile biten kaç kelime yazılabilir? ( Yazılan kelimelerde her harf yalnız bir defa kullanılacak)

A) 720 B) 520 C) 120 D) 24

“M”

4 . 3 . 2 . 1 . 1 = 24 kelime yazılabilir. Cevap: D

13) 1997 FL-AÖL: n doğal sayı olmak üzere (n-1)! + n! + (n+1)! işleminin sonucu

————————

(n+1)!

aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) n+1 B) 2n C) n+1 D) n-1

——— —— —— ——

n n-1 n-1 n

(n-1)! + n . (n-1)! + (n+1) . n . (n-1)! (n-1)! . (1 + n + n² + n)

———————————————— = ————————————

(n+1)! (n+1) . n . (n-1)!

n² + 2n + 1 (n+1)² (n+1)

————— = ———— = ——— Cevap: A

n . (n+1) n . (n+1) n

14) 1992 KUR: 7 kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?

A) 7 B) 49 C) 720 D) 5040

Ç. (7-1)! = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 Cevap: C

15) 1989 FL-1: x ve y doğal sayı olmak üzere x>y dir. Buna göre x! in en küçük değeri

—

aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x B) y C) x+1 D) y+1

—— in en küçük değerinin bulunması için x y’den 1 büyük olmalıdır.

x=y + 1

x! (y+1)! (y+1) . y!

—— = ——— = ————— = y+1 Cevap: D

y! y! y!

n! (k-1)!

18) 1997 EML: ——— = 12 ve ——— = 15 ise, n+k kaçtır?

(n-1)! (k-2)!

A) 4 B) 24 C) 28 D) 32

n . (n-1)!

———— = 12 n = 12

(n-1)!

(k-1) . (k-2)!

—————— = 15 k= 16

(k-2)!

n+k = 12 + 16 = 28 Cevap: C

19) 1997 DPY: 7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daire şeklindeki bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler?

A) 24 B) 48 C) 120 D) 1240

Anne ile baba sürekli yan yana oturacağı için, ikisini 1 kişi kabul edersek 6 kişi daire şeklindeki masa etrafında (6-1)! = 5! Şeklinde oturabilir. Anne ile baba da kendi aralarında 2! Şeklinde oturabilir. O halde;

5! . 2! = 120 . 2 = 240 Cevap: D

20) 1997 DPY: 5 roman, 4 hikaye kitabının bulunduğu kitaplıktan, bir roman ile bir hikaye kitabının birlikte seçimi kaç türlü yapılabilir?

A) 2 B) 9 C) 15 D) 20

5 . 4 = 20 türlü yapılabilir. Cevap: D

21) 1996 EML: x . 6! = ——— eşitliğinde x’in değeri kaçtır?

A) 1 B) 14 C) 28 D) 48

8 . 7 . 6!

x . 6! = ————— 2 . x . 6! = 8 . 7 . 6!

2 . 1

2 . x = 56

x = 28 Cevap: C

22) 1993 FL: Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrudur?

2! + 3! = 5!
2 . 5! = 10!
3! – 1! = 2!
2! – 1! = 1!

A 2 + 6 ≠ 120

B 2 . 120 ≠ 3.628.800

C 6 –1 ≠ 2

D 2 – 1 = 1 √ Cevap: D

23) 1989 DPY: A = {a,b,c,d} kümesinin ikili permütasyonları kaç tanedir?

A) 6 B) 9 C) 11 D) 12

4! 4 . 3 . 2!

P (4,2) = ——— = ———— = 12 Cevap: D

(4-2)! 2!

P (8,8) 3! 2!

24) 1999 DPY: ———— : ( —— + —— ) işleminin sonucu kaçtır?

8! . 2 1! . 2! 3!

1 B) 1 C) 1 D) 3

— — — —

2 3 5 20

———

(8-8)! 3 . 2! 2!

= —————— : ( ———— + ———— )

8! . 2 1 . 2! 3 . 2!

———

8! 8!

—— ——

0! 1 1 10

= ————— : ( 3 + —— ) = —————— : ——

8! . 2 3 8! . 2 3

——— ———

8! 3 3

= ———— . —— = ——

8! . 2 10 20 Cevap: D

25) 1996 FL-AÖL : Bir rafta 5 tane Matematik, 2 tane Edebiyat ve 3 tane Tarih kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir?

A) 30 B) 90 C) 1440 D) 8640

5 Matematik kitabını 1 kitap, 2 Edebiyat kitabını 1 kitap ve 3 Tarih kitabını da 1 kitap olarak düşünürsek, bunlar 3! şeklinde sıralanır. 5 Matematik kitabı kendi arasında 5!, 2 Edebiyat kitabı kendi arasında 2! ve 3 Tarih kitabı da kendi arasında 3! olarak sıralanabilir. Dolayısıyla;

= 3! . 5! . 2! . 3!

= 6 . 120 . 2 . 6

= 8640 Cevap: D

26) 1993 FL: A = { 1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile 2 basamaklı ve basamaklarındaki rakamları birbirinden farklı kaç sayı yazabiliriz?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40

6 . 5 = 30 Cevap: C

27) 1992 ÖĞL: 8! = a ise ( 10! – 9! ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 90a B) 81a C) 7a D) a

10! – 9! = 10 . 9! – 9! = 9! ( 10 – 1) = 9! . 9

= 9 . 8! . 9

= 81 . 8! = 81 a Cevap: B

28) 1997 EML: Ahmet’in değişik 5 tane gömleği ve 3 tane de kravatı vardır. Ahmet giyinmek için, bir gömlek ile bir kravatı kaç değişik biçimde seçebilir?

A) 8 B) 12 C) 15 D) 16

5 . 3 = 15 şekilde Cevap: C

29) 1991 EML: 3 erkek ve 4 kız öğrenci, bir tiyatroda yan yana 7 koltuğa erkekler bir arada, kızlar bir arada olmak üzere kaç değişik şekilde yerleştirilir?

A) 196 B) 208 C) 288 D) 302

3 erkeğe 1 erkek, 4 kıza 1 kız dersek, 2! şeklinde otururlar. 3 erkek kendi aralarında 3! şeklinde, 4 kız da kendi aralarında 4! şeklinde oturur.

= 2! . 3! . 4!

= 2 . 6 . 24

= 288 Cevap: C

1 1

30) 1997 DPY: —— P (5,4) - —— P (3,2) işleminin sonucu nedir?

5 3

A) 14 B) 22 C) 28 D) 36

1 5! 1 3!

—— ( ——— ) - —— ( ——— )

5 (5-4)! 3 (3-2)!

1 5! 1 3! 1 5 . 4! 1 3 . 2!

= —— . —— - —— . —— —— . —— - —— . —— = 4! – 2! = 24 – 2

5 1! 3 1! 5 1 3 1

= 22

Cevap: B

5 6

4 3 2 1 1

5 4 3

4 3 2 1 3

8 yol