DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

Koordinatlar

Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen sıralı ikili (a,b) ise a reel sayısına A nın apsisi, b ye de ordinatı denir.

Düzlemde A ve B noktalan verildiğinde, bunlar arasındaki uzaklık AB sembolü ile gösterilir. Bu uzaklığın nasıl hesaplanacağını aşağıdaki teorem göstermekte­dir.

TEOREM

(Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık)

A(x₁ . y₁) noktaları arasındaki uzaklık

AB =

birimdir.

Bu teoremin ispatı, yanda verilen ABC dik üçgenine Pisagor bağıntısını uygula­maktan ibarettir.

Bir Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi

Bir doğrunun Ox - ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya doğrunun eğim açısı, eğim açısının tanjantına da doğrunun eğimi denir. Buna göre, d doğrusunun eğimi m ise

m = tan olacaktır.

d doğrusunun eğim açısı dar açı ise eğim pozitif, geniş açı ise eğim negatif ola­caktır. Yanda çeşitli eğim açısı ve eğime sahip doğrular çizilmiştir. tan90° tanımsız olduğundan, düşey doğruların eğimleri tanımsızdır.

Şimdi bir doğru üzerinde P(x_{1 ,} y_L) , Q(x₂, y₂) noktalarını seçelim. PQT dik üçgeninde

olacağından

olur.

Buna göre, y ve x deki değişimler

y = y₂ – y₁ , x = x₂ – x₁ ile gösterilirse

yazılabilir.

Buna göre bir doğrunun eğimi, kabaca "yükselen" kısmın "yatan" kısma oranı biçiminde tanımlanabilir.

Bir doğrunun eğimi, doğru üzerinde seçilen noktalardan bağımsızdır. Yani noktalar değişse de eğim değişmez. Örneğin doğru üzerinde

P = (x₁ – y₁), Q (x₂ – y₂), S (x₃ – y₃), R (x₄ – y₄)

noktaları alındığında, ve üçgenlerinin benzerliğinden,

bulunur. Yani noktalar değiştikçe oran değişmemektedir.

Bir doğru Qx eksenine paralel olduğunda

v = 0, x  0 olacağından

m = 0 olur.

Doğru Oy - eksenine paralel olduğunda x = 0, y  0 olacağından m tanımsız olur.

Paralel ve Dik Doğrular

d₁ ve d₂ doğruları paralel ise onların eğim açıları eşit ölçülü, dolayısıyla eğimleri eşittir. Buna göre,

d₁ // d₂  m₁ = m₂

Düşey olmayan d₁ ve d₂ dik doğrularının eğimleri, sırasıyla m₁ ve m₂ olsun.

olacağından

olur. Buna göre

d₁  d₂  m₁ . m₂ = -1

Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

Bir doğrunun denklemini bulmak demek, onun üzerinde alınan değişken bir P(x,y) noktasının x, y koordinatları arasında bir bağıntı bulmak demektir.

a(x_o, y₀) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru üzerinde bir P(x,y) noktası alınırsa,

bulunur. Buna göre doğrunun denklemi

y = y₀ = m (x – x₀)

olur.

y = y₀ = m (x – x₀)

denklemi

y = mx + (y₀ – mx₀)  y = mx + n

biçiminde de yazılabilir.

Şu halde x ‘in katsayısı olan sayı doğrunun eğimidir.

İki noktası Verilen Doğrunun Denklemi

A(x₁ , y₁ ve B(x₂,y₂) noktalarından geçen doğrunun üzerinde bir P(x,y) noktası alalım.

ve

olacağından

=

yazılabilir. Orantı özelliklerinden yararlanarak, bu bağıntı

=

biçiminde de yazılabilir.

Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı

Bir A(x₀ , y₀) noktasının denklemi ax + by + c = 0 olan doğruya olan uzaklığı A dan doğruya indirilen [AH] dikmesinin uzunluğudur. AH doğrusunun eğimi a / b dır. Dolayısıyla denklemi y - y₀ = b / a (x - x₀ ) dır.

Bu doğru ile ax + by + c = 0 doğrusunun kesim noktası H noktasıdır. A ve H arasındaki uzaklık hesaplanarak  bulunur.

Yukarıdakiler yapıldığında

bulunur.

Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık

Denklemleri

ax + by + c_l = 0 , ax + by + c₂ = 0 olan doğrular arasındaki uzaklık

birimidir.